Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，且CA＝CB1.

（1）证明：面CBA1⊥面CB1A；

（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求点C到平面A1BC1的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设A1B∩AB1＝O，连接CO.证明A1B⊥AB1，CO⊥AB1，得到AB1⊥面CA1B，然后证明面CBA1⊥面CB1A.

（2）说明线段CH的长就是点C到平面A1BC1的距离.然后转化求解即可.

（1）证明：设A1B∩AB1＝O，连接CO.因为侧面ABB1A1是菱形，所以A1B⊥AB1，

又因为CA＝CB1，所以CO⊥AB1，又A1B∩CO＝O，

所以AB1⊥面CA1B，又AB1面CAB1，所以面CBA1⊥面CB1A.

（2）在菱形ABB1A1中，因为∠BAA1＝60°，

所以△ABA1是等边三角形，可得A1B＝2，所以BC＝2＝BB1，

所以侧面BB1C1C是菱形，故CB1⊥C1B，（*）

在等边三角形CA1B中，A1B⊥CO，又A1B⊥AB1，且CO∩AB1＝O，

所以A1B⊥面CAB1，又CB1面CAB1，所以CB1⊥A1B，

结合（*）以及A1B∩C1B＝B得CB1⊥面A1C1B，设CB1∩C1B＝H，

则线段CH的长就是点C到平面A1BC1的距离.

经计算得，，

所以，即点C到平面A1BC1的距离为.