【题目】已知函数 ,
的图象在点
处的切线为
.
(1)求函数 的解析式;
(2)若 对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】
(1)解: ,切线的斜率
,∴
.
∴切线方程为 ,切点坐标为
.
∴ ,∴
,∴
.
(2)解:由(1)知 (
)恒成立,
∴ (
)恒成立.令
(
),∴
即可
∵ ,设
,则
∴
在
单调递增,
∴
.
∴ 在
上递减,在
上递增,
∴当 时,
取最小值
,∴
.
【解析】(1)利用导函数的性质可求出切线的斜率,再根据点斜式求出直线的方程。(2)整理已知函数式构造函数 g ( x ),根据不等式的性质 可得 k < g ( x ) min,再利用导函数g′(x)的性质得出g ( x )的单调性进而得到 g ( x ) 的最小值从而得出k的取值范围。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=ex+ax,(a∈R),其图象与x轴交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)两点,且x1<x2
(1)求a的取值范围;
(2)证明: ;(f′(x)为f(x)的导函数)
(3)设点C在函数f(x)的图象上,且△ABC为等边三角形,记 ,求(t﹣1)(a+
)的值.
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【题目】给出下列四个命题:
①函数的一条对称轴是
②函数的图像关于点
对称;
③正弦函数在第一象限为增函数;
④若,则
其中
其中正确的有____________.(填写正确命题前面的序号)
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【题目】已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD,线段MN是球O的一条动直径(M,N是直径的两端点),点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点,则 的取值范围是 .
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【题目】一个正四面体的“骰子”(四个面分别标有1,2,3,4四个数字),掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”,连续抛掷“骰子”两次.
(1)设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”,求事件A发生的概率;
(2)设X为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
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