Question

已知函数f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) ， x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）判断奇偶性，先求定义域，看是否关于原点中心对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，再判断f（-x）与f（x）的关系，得出结论，按照定义去判断，取值，作差，变形，判断符号，得出结论．
（2）先移项，得f（1-t）＜-f（1-t²），根据奇函数，f（1-t）＜f（t²-1），再根据单调性，求出t的取值范围，注意函数的定义域优先原则．

解答：解：（1）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数
当a＞1，函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x₁＜x_2，
则 f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2)  (

ax1 ax2 +1

ax1ax2

)
因为x₁＜x₂，又a＞1，所以 ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，

ax1ax2+1

ax1ax2

＞0，

a

a2-1

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）为R上的增函数
同理，当0＜a＜1时，函数f（x）为R上的增函数
（2）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．

-1＜1-t＜1 -1＜1-t2＜1 t2+t-2＞0

∴1＜t＜

2

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断，函数单调性的证明，抽象函数性质应用，关键是正确应用函数的基本性质解题．