Question

规定

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整数，且C_x⁰=1，这是组合数C_n^m（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1） 求C_-15⁵的值；
（2）组合数的两个性质：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m．是否都能推广到C_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据所给的组合数公式，写出C_-15⁵的值，这里与平常所做的题目不同的是组合数的下标是一个负数，在本题的新定义下，按照一般组合数的公式来用．
（2）C_n^m=C_n^n-m不能推广到C_x^m的情形，举出两个反例

C

1 2

，

C

2 -1 2

无意义；C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推广到C_x^m的情形，可以利用组合数的公式来证明，证明的方法同没有推广之情相同．

解答：解：（1）C_-15⁵=

-15(-16)(-17)(-18)(-19)

1•2•3•4•5

=-11628；
（2）C_n^m=C_n^n-m不能推广到C_x^m的情形，
例如

C

1 2

，

C

2 -1 2

无意义；
C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推广到C_x^m的情形，
C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)(x-m+1)

m !

+

x(x-1)(x-m+2)

(m-1) !

=

x(x-1)(x-m+1)+x(x-1)(x-m+2)•m

m !

=

x(x-1)(x-m+2)(x-m+1+m)

m !

=

(x+1)x(x-1)(x-m+2)

m !

=C_x+1^m．

点评：本题考查组合数公式，不是在一般的情况下应用组合数公式，而是对于组合数公式推广使用，是一个中档题，题目解起来容易出错．这种题目对于学生帮助不大．