Question

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过A（0，2），B（

1

2

，

2

），
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过E（1，0）的直线l与椭圆C交于两个不同点M、N，求

EM

•

EN

的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）对椭圆的焦点分类讨论，利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）设过E（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用数量积运算、函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0），则a=2，

2

a2

+

1

4b2

=1，解得b2=

1

2

．可得椭圆C的方程为：

y2

4

+2x2=1．
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），不满足题意，应舍去．
综上可得：椭圆C的方程为：

y2

4

+2x2=1．
（2）设过E（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆C交于两个不同点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-1) y2+8x2=4

，化为（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0．
△＞0，化为k²＜8．
∴x1+x2=

2k2

k2+8

，x₁x₂=

k2-4

k2+8

．
∴

EM

•

EN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=（1+k²）(

k2-4

k2+8

-

2k2

k2+8

+1)
=

4(1+k2)

k2+8

=4-

28

k2+8

．
∵0≤k²＜8，
∴

7

4

＜

28

k2+8

≤

7

2

，
∴

1

2

≤4-

28

k2+8

＜

9

4

．
∴

EM

•

EN

的范围是[

1

2

，

9

4

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．