Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）谈论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数在区间内任取有两个不相等的实数，，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时,函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域为 ， ，然后再对进行分类讨论，分和两种情况，结合函数的单调性性质，即可求出结果；（2）令 ，则 .已知，则.

由 .设函数 ，则函数是在 上的增函数，又，则原问题转化为：只要上恒成立，然后再根据二次函数的性质求出函数的最小值，即可求出结果.

试题解析：

（1）函数的定义域为 ， ，

①当时，，在 上恒成立，所以 在上单调递增.

②当时，方程有一正根一负根，在上的根为 ，所以函数 在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时， 在上单调递增；

当时，函数 在上单调递减，在上单调递增.

（2）不妨令 ，则 .

已知，则.

由

.

设函数 ，则函数是在 上的增函数，

所以，

又函数是在 上的增函数，只要上恒成立， 在上，所以 .