设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.
(1)问:直线与能否垂直?若能,求之间满足的关系式;若不能,说明理由;
(2)已知为的中点,且点在椭圆上.若,求之间满足的关系式.
(1)直线与不能垂直;(2)
【解析】
试题分析:(1)设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程,因为有两个交点则判别式应大于0,由韦达定理可得根与系数的关系,用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率,假设两直线垂直则斜率相乘等于,解出的关系式,根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
∵,∴四边形OANB为矩形,∴,转化为向量问题,可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标,将其代入椭圆方程,与上式联立消去即可得之间满足的关系式。
试题解析:解答:(1)∵斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,
∴可以设直线的方程为.
∵,∴,
∴. ① 1分
∵直线与椭圆相交于两点,∴
. ② 2分
且. ③ 3分
∵为线段的中点,∴,
∴,∴. 4分
假设直线与能垂直.
∵直线的斜率为1,∴直线的斜率为-1,
∴,∴. 5分
∵在椭圆方程中,,
∴假设不正确,在椭圆中直线与不能垂直. 6分
(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
∵,∴四边形OANB为矩形,∴, 8分
∴,∴,∴,
∴,
∴,整理得. 10分
∵点在椭圆上,∴,
∴. 此时,满足,
消去得,即. 12分
考点:1直线与椭圆的位置关系;2直线垂直时斜率的关系;3转化思想。
科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个半径为6 cm,深2 cm的空穴,则该球表面积为( )cm².
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁省沈阳市高二质量监测理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
若3x,2x+1,2x+4是钝角三角形的三条边,则实数x的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁省沈阳市高二质量监测理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于8,则动点M的轨迹方程为 ( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁省沈阳市高二质量监测文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如果一个物体的运动方程为,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标6章末练习卷(解析版) 题型:填空题
用数学归纳法证明:1+2+3+…+n2=,则n=k+1时左端在n=k时的左端加上________.
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