精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
18.在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为$ρcos({θ-\frac{π}{4}})=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,曲线C3:ρ=2sinθ.
(1)求曲线C1与曲线C2交点M的直角坐标;
(2)设点A,B分别是曲线曲线C2,C3上的动点,求|AB|的最小值.

分析 (1)分别求出曲线C1、曲线C2的直角坐标方程,联立方程组,能求出曲线C1与曲线C2交点M的直角坐标.
(2)求出曲线C3的直角坐标方程为:x2+y2-2y=0.得到曲线C3是以(0,1)为圆心,以r=1为半径的圆,求出圆心(0,1)到曲线C2的:x+y+1=0的距离d,由此能求出|AB|的最小值.

解答 解:(1)∵曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$(α为参数),
∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1,
∴曲线C2的极坐标方程为$ρcos({θ-\frac{π}{4}})=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
即ρcosθ+ρsinθ=-1,
∴曲线C2的直角坐标方程为x+y+1=0,
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+y+1=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$,
∴曲线C1与曲线C2交点M的直角坐标为M(-1,0)或M(0,-1).
(2)∵曲线C3:ρ=2sinθ,
∴曲线C3的直角坐标方程为:x2+y2-2y=0.
曲线C3是以(0,1)为圆心,以r=1为半径的圆,
圆心(0,1)到曲线C2的:x+y+1=0的距离d=$\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$,
∵点A,B分别是曲线曲线C2,C3上的动点,
∴|AB|的最小值|AB|min=$\sqrt{2}-1$.

点评 本题考查两曲线交点的直角坐标的求法,考查弦长的最小值的求法,考查推理论证能力、运算求解能力,考查整体思想、转化化归思想,考查数据处理能力和运用意识,是中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.圆O的半径为3,一条弦AB=4,P为圆O上任意一点,则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围为(  )
A.[-16,0]B.[0,16]C.[-4,20]D.[-20,4]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.一个三棱锥的三视图如图(图中小正方形的边长为1),则这个三棱锥的体积是(  )
A.$\frac{32}{3}$B.8C.$\frac{20}{3}$D.$\frac{16}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.in1320°的值是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.通过$\widehat{{e}_{1}}$,$\widehat{{e}_{2}}$,…,$\widehat{{e}_{n}}$来判断模拟型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这种分工称为(  )
A.回归分析B.独立性检验分析C.残差分析D.散点图分析

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.已知函数f(x)=4sin2x+4$\sqrt{2}$sinxcosx
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和递增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)的图象的对称中心的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知tanα=7,求下列各式的值.
(1)$\frac{sinα+cosα}{2sinα-cosα}$
(2)sinαcosα

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为4+$\frac{2π}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

8.已知函数f(x)满足f(x+1)=2x+3,若f(m)=3,则m=1.

查看答案和解析>>

同步练习册答案