Question

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-8x+14=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，

2

为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，由题意得到直线kx-y-2=0与圆C′：（x-4）²+y²=8有公共点，从而圆心到直线的距离d≤2

2

，利用点到直线的距离公式列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答：解：圆的方程x²+y²-8x+14=0化为标准方程为（x-4）²+y²=2，得到圆心C（4，0），半径r=

2

，
∵直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，

2

为半径的圆与圆C有公共点，
∴直线kx-y-2=0与圆C′：（x-4）²+y²=8有公共点，
∴圆心到直线的距离d≤2

2

，
即

|4k-2|

k2+1

≤2

2

，即2k²-4k-1≤0，
∴

2- 6

2

≤k≤

2+ 6

2

，
∴k的最大值是

2+ 6

2

．
故答案为：

2+ 6

2

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及不等式的解法，解题的关键是将条件化为直线kx-y-2=0与圆C′：（x-4）²+y²=8有公共点．