Question

已知关于x的方程|x²-2x-3|-a=0，该方程实数解的个数有如下判断：
①若该方程没有实数根，则a＜-4
②若a=0，则该方程恰有两个实数解
③该方程不可能有三个不同的实数根
④若该方程恰有三个不同的实数解，则a=4
⑤若该方程恰有四个不同的实数解，则0＜a＜4
其中正确判断的序号是

②④⑤

．

Answer 1

分析：将方程|x²-2x-3|-a=0的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分析即得答案．

解答：解：关于x的方程|x²-2x-3|-a=0，即|x²-2x-3|=a，
分别画出y=|x²-2x-3|与y=a的图象，如图．
①若该方程没有实数根，则a＜0；故①错；
②若a=0，则该方程恰有两个实数解；②对；
③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，故③错；
④若该方程恰有三个不同的实数解，则a=4，④对；
⑤若该方程恰有四个不同的实数解，则0＜a＜4，正确．
其中正确判断的序号是 ②④⑤．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．