Question

已知二次函数f（x）满足条件：f（0）=1，f（2）=3，f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)．
（1）求f（x）；
（2）讨论 f（|x|）=a（a∈R）的解的个数．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）设出函数的解析式，由题意得到方程组，解出a，b，c的值，从而求出函数的解析式；
（2）画出函数的图象，结合图象讨论方程的解的个数．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则由已知得c=1，4a+2b+c=3，a(

1

2

+x)2+b(

1

2

+x)+c=a(

1

2

-x)2+b(

1

2

-x)+c，
组成方程组，
解得a=1，b=-1，c=1，
∴f（x）=x²-x+1，
（2）画出图象；利用图象分类讨论：

当a＜

3

4

时，方程无解；
当a=

3

4

或a＞1时，方程有两个解；
当a=1时方程有三个解；
当

3

4

＜a＜1时，方程有四个解．

点评：本题考查了求二次函数的解析式，考查了分类讨论思想，数形结合思想，是一道中档题．