Question

若关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．（-∞，7]
B．（-∞，-20]
C．（-∞，0]
D．[-12，7]

Answer 1

【答案】分析：设y=x³-3x²-9x+2，则y′=3x²-6x-9，令y′=3x²-6x-9=0，得x₁=-1，x₂=3（舍），由f（-2）=0，f（-1）=7，f（2）=-20，知y=x³-3x²-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，由此能求出关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立的m的取值范围．
解答：解：设y=x³-3x²-9x+2，则y′=3x²-6x-9，
令y′=3x²-6x-9=0，得x₁=-1，x₂=3，
∵3∉[-2，2]，∴x₂=3（舍），
列表讨论：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∵f（-2）=-8-12+18+2=0，
f（-1）=-1-3+9+2=7，
f（2）=8-12-18+2=-20，
∴y=x³-3x²-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，
∵关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，
∴m≤-20，
故选B．
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．