Question

3．若 x＞0，y＞0．且 x+y≤4，则下列不等式中恒成立的是（　　）

• A． $\frac{1}{x+y}$≤$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≤1
• C． $\sqrt{xy}$≥2
• D． $\frac{1}{xy}$≥$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由 x＞0，y＞0．且 x+y≤4，利用不等式的性质进行判断．

解答 解：若 x＞0，y＞0．且 x+y≤4，则$\frac{1}{x+y}$≥$\frac{1}{4}$，故A错误；
$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$≤$\frac{x+y}{2}$≤2，当且仅当x=y=2时成立，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥1，故B错误；
4≥x+y≥2$\sqrt{xy}$，当且仅当x=y=2时取“=”，故$\sqrt{xy}$≤2，故C错误；
$\sqrt{xy}$≤2，得：0＜xy≤4，即$\frac{1}{xy}$≥$\frac{1}{4}$，故D正确，
故答案选：D．

点评 本题考查基本不等式的性质及应用，熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键，属于基础题．