【题目】教材曾有介绍:圆上的点处的切线方程为。我们将其结论推广:椭圆上的点处的切线方程为,在解本题时可以直接应用。已知,直线与椭圆有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设为坐标原点,过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、,且与交于点。当变化时,求面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点作直线与该椭圆交于、两点,在线段上存在点,使成立,试问:点是否在直线上,请说明理由.
【答案】(1)(2)(3)见解析
【解析】
(1)将直线y=x代入椭圆方程,得到x的方程,由直线和椭圆相切的条件:判别式为0,解方程可得a的值;(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),可得切线,,,再将M代入上式,结合两点确定一条直线,可得切点弦方程,AB的方程为x+my=1,将直线与椭圆方程联立,运用韦达定理,求得△OAB的面积,化简整理,运用基本不等式即可得到所求最大值;(3)点在直线上,因为
设、、,且,于是,向量坐标化,得、、、,将代入椭圆方程,结合、在椭圆上,整理化简得,即在直线上.
(1)联立,整理得
依题意,即
(2)设、,于是直线、的方程分别为、
将代入、的方程得且
所以直线的方程为
联立
显然,由,是该方程的两个实根,有,
面积
即
当且仅当时,“=”成立,取得最大值
(3)点在直线上,因为
设、、,且
于是,即、、、
又,
,
,即在直线上.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,动点到定点的距离与到定直线的距离的比为,动点的轨迹记为.
(1)求轨迹的方程;
(2)若点在轨迹上运动,点在圆上运动,且总有,
求的取值范围;
(3)过点的动直线交轨迹于两点,试问:在此坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标.若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间x/分 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数y/人 | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数y的差,若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)从这6组数据中随机选取4组数据,求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率;
(2)若选取的是中间4组数据,求y关于x的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”.
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆: 的离心率为,短轴端点与两焦点围成的三角形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于两点,且过点,为坐标原点,当△为直角三角形,求直线的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,底面,分别是的中点,,,.
(I)证明:;
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点位置;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,菱形中,,, 于.将沿翻折到,使,如图2.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值;
(Ⅲ)设为线段上一点,若平面,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现,每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以下表:
反馈点数t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百件)/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(Ⅰ)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量(千件)与返还点数之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量;
(Ⅱ)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
返还点数预期值区间 (百分比) | [1,3) | [3,5) | [5,7) | [7,9) | [9,11) | [11,13) |
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(1)求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到0.1);
(2)将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量,求的分布列及数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动点满足,记M的轨迹为曲线C,直线l:()交曲线C于P,Q两点,点P在第一象限,轴,垂足为E,连接QE并延长交曲线C于点G.
(1)求曲线C的方程,并说明曲线C是什么曲线;
(2)若,求的面积.
(3)求面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且sinAsinBcosB+sin2BcosA=2 sinCcosB.
(1)求tanB的值;
(2)若△ABC的外接圆半径为R,求的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com