Question

（本题满分12分）如图所示，在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点。
 
（I）求三棱锥D₁—ACE的体积；
（II）求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A—D₁E—C的正弦值。

Answer 1

（I）；（II）（III）

试题分析：（I）  …………3分
（II）取DD₁的中点F，连结FC，则D₁E//FC，
∴∠FCA即为异面直线D₁E与AC
所成角或其补角。 …………5分

∴异面直线D₁E与AC所成角的余弦值为…………7分
（III）过点D作DG⊥D₁E于点G，连接AG，由AD⊥面D₁DCC₁，
∴AD⊥D₁E
又∵DG⊥D₁E，∴D₁E⊥面ADG
∴D₁E⊥AG，则∠AGD为二面角A—D₁E—C的平面角  ……9分
∵D₁E·DG=DD₁·CD，
 ，
二面角A—D₁E—C的正弦值为…………12分
法二：（I）同法一   ………………3分
（II）以D为原点，分别以DA,DC,DD₁为ox,oy,oz轴建立空间直角坐标系。

（III）显然是平面D₁DCE的法向量，
设平面D₁AE的一个法向量为

二面角A—D₁E—C的正弦值为…………12分
点评：求异面直线所成的角，解题的关键是：首先正确的建立空间直角坐标系，然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角；而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量。注意计算要仔细、认真。