Question

17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若函数y=2[f（x）]²+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由题意可得即要求对应于f（x）=某个常数k，有2个不同的k，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解．故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的k在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可得b的不等式，可以得出答案．

解答 解：根据题意作出f（x）的简图：

由图象可得当f（x）∈（0，1）时，
函数有四个不同零点．
若方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解，令k=f（x），
则关于k的方程2k²+2bk+1=0有两个不同的实数根k₁、k₂，且k₁和k₂均为大于0且小于1的实数．
即有k₁+k₂=-b，k₁k₂=$\frac{1}{2}$．
故：$\left\{\begin{array}{l}{△=4{b}^{2}-8＞0}\\{0＜{k}_{1}+{k}_{2}＜2}\\{{k}_{1}{k}_{2}＞0}\\{（{k}_{1}-1）（{k}_{2}-1）＞0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{b＞\sqrt{2}或b＜-\sqrt{2}}\\{0＜-b＜2}\\{b＞-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
可得-$\frac{3}{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$．
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法．