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2.已知直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=3-2t}\end{array}\right.$(t是参数),以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)已知点P的直角坐标为(2,1)直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|•|PB|的值.

分析 (1)由圆C的极坐标ρ=4sinθ 根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程.
(2)由题意可得直线的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}t′}\\{y=1-\frac{2}{\sqrt{5}}t′}\end{array}\right.$(t′是参数),代入曲线方程化简求得t′1t2′=1,可得|PA|•|PB|=|t1′|•|t2′|的值.

解答 解:(1)由圆C的极坐标ρ=4sinθ,即 ρ2=4ρsinθ,可得直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,
表示以(0,2)为圆心、半径等于2的圆.
(2)由直线l过点P(2,1),可得直线的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}t′}\\{y=1-\frac{2}{\sqrt{5}}t′}\end{array}\right.$(t′是参数),
把直线方程代入曲线方程化简可得$t{′}^{2}+\frac{8\sqrt{5}}{5}t′+1$=0
设A、B对应的参数分别为t′1、t′2,则t′1t2′=1,∴|PA|•|PB|=|t1′|•|t2′|=1.

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线的参数方程,参数的几何意义,属于基础题.

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