【题目】已知f(x)=kx+b的图象过点(2,1),且b2﹣6b+9≤0
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若a>0,解关于x的不等式x2﹣(a2+a+1)x+a3+3<f(x).
【答案】
(1)解:(1)∵f(x)=kx+b的图象过点(2,1),且b2﹣6b+9≤0,
∴ ,解得b=3,k=﹣1.
∴f(x)=﹣x+3.
(2)解:∵a>0,x2﹣(a2+a+1)x+a3+3<f(x),
∴﹣x+3>x2﹣(a2+a+1)x+a3+3,
∴x2﹣(a2+a)x+a3<0,
解方程x2﹣(a2+a)x+a3=0,得x1=a, ,
当0<a<1时,原不等式的解集为:{x|a2<x<a};
当a=1时,原不等式的解集为:{x|x≠1};
当a>1时,原不等式的解集为:{x|a<x<a2}
【解析】(1)由已知得 ,由此能求出f(x).(2)原不等式等价于x2﹣(a2+a)x+a3<0,由此能求出关于x的不等式x2﹣(a2+a+1)x+a3+3<f(x).
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【题目】如图,某几何体的三视图中,俯视图是边长为2的正三角形,正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形,则该几何体的体积为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图(1)所示,已知四边形是由直角△
和直角梯形
拼接而成的,其中
.且点
为线段
的中点,
,
现将△
沿
进行翻折,使得二面角
的大小为
,得到图形如图(2)所示,连接
,点
分别在线段
上.
(1)证明: ;
(2)若三棱锥的体积为四棱锥
体积的
,求点
到平面
的距离.
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如表:
x | |||||
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
Asin(ωx+φ) | 0 | 2 | 0 | ﹣2 |
(1)请将上表数据补全,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0, ]时,求函数f(x)的值域.
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【题目】在四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
,
,
点在底面
内的射影
在线段
上,且
,
,
为
的中点,
在线段
上,且
.
(1)当时,证明:平面
平面
;
(2)当时,求平面
与平面
所成的二面角的正弦值及四棱锥
的体积.
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【题目】设函数的定义域为
,如果存在正实数
,使得对任意
,都有
,且
恒成立,则称函数
为
上的“
的型增函数”,已知
是定义在
上的奇函数,且在
时,
,若
为
上的“2017的型增函数”,则实数
的取值范围是__________.
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【题目】某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验,准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其实验统计结果如下
方式 | 实施地点 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模拟实验次数 |
A | 甲 | 2次 | 6次 | 4次 | 12次 |
B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,且不考虑洪涝灾害,请根据统计数据:
(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;
(2)考虑不同地区的干旱程度,当雨量达到理想状态时,能缓解旱情,若甲、丙地需中雨或大雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量,求
的分布列和数学期望.
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