Question

已知E、F分别为正四面体ABCD棱AD、BC的中点，则异面直线AC与EF所成的角为  （　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：取CD的中点G，利用三角形中位线的性质可得∠GEF或其补角即为异面直线AC与EF所成的角．再利用勾股定理可得△EFG为等腰直角三角形，得到∠GEF=45°，从而求得异面直线AC与EF所成的角．

解答：解：取CD的中点G，∵E、F分别为正四面体ABCD棱AD、BC的中点，故EG是△ACD的中位线，故AC=2EG，AC∥EG．
同理，FG是△BCD的中位线，BD=2 FG，BD∥FG，故∠GEF或其补角即为异面直线AC与EF所成的角．
设正四面体ABCD的边长为1，则 FG=EG=

1

2

，EF=

FD2-DE2

=

3 4 - 1 4

=

2

2

．
∴FG²+EG²=EF²，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠GEF=45°．
故异面直线AC与EF所成的角为45°，
故选B．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，属于中档题．