Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，，∠ABC=60°，E，F分别为A₁C和BB₁上的中点．
（Ⅰ） 证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）证明：B₁E∥平面AFC．

Answer 1

证明：（I）∵AB=1，，∠ABC=60°
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
∴A₁A⊥平面ABC，而AB?平面ABC
∴AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁，而A₁C?平面A₁ACC₁，
∴AB⊥A₁C；
（II）证明：取AC的中点D，连接ED、FD
∵D为AC的中点，E为A₁C的中点
∴DE∥B₁F且DE=B₁F
∴四边形B₁FDE为平行四边形
则B₁E∥FD，B₁E?平面AFC，FD?平面AFC
∴B₁E∥平面AFC
分析：（I）根据AB=1，，∠ABC=60°，可知AB⊥AC，而A₁A⊥平面ABC，AB?平面ABC，根据线面垂直的性质可知AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面A₁ACC₁，又A₁C?平面A₁ACC₁，从而AB⊥A₁C；
（II）取AC的中点D，连接ED、FD，根据中位线可知DE∥B₁F且DE=B₁F，则四边形B₁FDE为平行四边形，从而B₁E∥FD，又B₁E?平面AFC，FD?平面AFC，根据线面平行的判定定理可知B₁E∥平面AFC．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系等有关知识，同时考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．