Question

【题目】如图，在四棱锥中，直线平面，.

（1）求证：直线平面.

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面垂直，一般多次利用线面垂直判定定理及性质定理，经多次线线垂直与线面垂直的转化进行论证：在线线垂直论证与寻找时，要注意利用平面几何的条件，如本题就利用两三角形相似，得到，再根据线面垂直性质定理将条件平面转化为线线垂直：，最后根据线面垂直判定定理得平面（2）线面角找射影，由（1）知直线在平面上射影为（为与交点），则是直线与平面所成的角，二面角的作法，往往结合三垂线定理：作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角，最后结合对应三角形求角的三角函数值.本题也可建立空间直角坐标系进行论证、求解.

试题解析：

法一：（1）

取中点，连接，则，

∴四边形是平行四边形，∴.

∵直角和直角中，，∴直角直角，易知，

∴

又∵平面，∴

而，∴平面，得证

（2）由，知，∵，∴，

设交于，连接，则是直线与平面所成的角，

，∴，而故

作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角

∵，∴，而，

∴，∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为

法二：

（1）∵平面，∴，又∵，故可建立如图所示坐标系

由已知，∴，∴

∴，∴平面

（2）由（1），平面的一个法向量是，

设直线与平面所成的角为，∴，，

∵，∴，即

设平面的一个法向量为，

由，∴，令，则

∴

显然二面角的平面角是锐角，

∴二面角的平面角的余弦值为