Question

甲乙两人轮流抛掷一枚正方体骰子（6个面分别标有1，2，3，4，5，6）各一次，将向上面上的点数分别记为a，b，点数差记为ξ=|a-b|
（1）游戏约定：若ξ≤2，则甲获胜；否则乙获胜．这样的约定是否公平，为什么？
（2）求关于x的方程kx²-ξx-1=0（k∈N^*）在（2，3）上有且仅有一个根的概率．

Answer 1

分析：（1）由已知中正方体骰子6个面分别标有1，2，3，4，5，6，可得数差ξ=|a-b|∈{0，1，2，3，4，5}，列举出所有的情况后，计算ξ≤2的个数，即可得到答案．
（2）若方程kx²-ξx-1=0（k∈N^*）在（2，3）上有且仅有一个根，则函数f（x）=kx²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点，即f（2）•f（3）＜0，构造不等式后，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）不公平．
由题知，

a、b∈{1，2，3，4，5，6}，ξ∈{0，1，2，3，4，5} ξ=0，(a，b)可能是(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)有6种可能 ξ=1，(a，b)可能是(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5) (5，4)，(5，6)，(6，5)有10种可能 ξ=2，(a，b)可能是(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)(6，4)有8种可能 ξ=3，(a，b)可能是(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3)有6种可能 ξ=4，(a，b)可能是(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)有4种可能 ξ=0，(a，b)可能是(1，6)，(6，1)有2种可能 基本事件总数36种 P(ξ≤2)= 6+10+8 36 = 2 3 由于P(ξ≤2)＞ 1 2 故不公平

（2）

记f(x)=kx2-ξx-1 ＜1＞当f(2)=0时，ξ=2k- 1 2 ，舍去． ＜2＞当f(3)=0时，ξ=3k- 1 3 ，舍去． ＜3＞当f(2)f(3)＜0时，(4k-1-2ξ)(9k-1-3ξ)＜0，(k∈N*) 2k- 1 2 ＜ξ＜3k- 1 3 ， 当k=1时， 3 2 ＜ξ＜ 8 3 ，ξ=2， P(ξ=2)= 8 36 = 2 9 当k=2时， 7 2 ＜ξ＜ 17 3 ，ξ=4，5 P(ξ≥3)= 4+2 36 = 1 6 当k≥3时，ξ＞ 11 2 ，不可能． 综上所述，当k=1时，所求概率为 2 9 ，当k=2时，所求概率为 1 6 ，当k≥3时， 所求概率为0.

点评：本题考查的知识点是列举法计算基本事件数及事件发生的概率，其中（2）中关键是构造相应的函数，将问题转化为函数零点问题．