Question

已知函数f(x)=

3-ax

a-2

 (a≠2)，若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是

（-∞，0）∪（2，3]

．

Answer 1

分析：①当a＞2时，应有3-a≥0，解得 2＜a≤3．②当a＜0时，经过 检验满足条件．③当0＜a＜2时，经过检验，不满足条件．综合可得实数a的取值范围．

解答：解：∵已知函数f(x)=

3-ax

a-2

 (a≠2)，若f（x）在区间（0，1]上是减函数，
①当a＞2时，由根式的性质可得应有3-a×1≥0，解得 2＜a≤3，满足函数f(x)=

3-ax

a-2

 (a≠2)在区间（0，1]上是减函数．
②当a＜0时，a-2＜0，且当0＜x≤1时，3-ax＞0，满足函数f(x)=

3-ax

a-2

 (a≠2)在区间（0，1]上是减函数．
③当0＜a＜2时，a-2＜0，且当0＜x≤1时，3-ax＞0，此时函数f(x)=

3-ax

a-2

 (a≠2)在区间（0，1]上是增函数，不满足条件．
综合可得，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（2，3]，
故答案为 （-∞，0）∪（2，3]．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．