Question

已知向量

a

与

b

满足：|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

+3

b

）•（2

a

-

b

）=61．
（Ⅰ）求

a

•

b

的值；
（Ⅱ）求向量

a

与

b

的夹角；
（Ⅲ）求|

a

-

b

|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由（2

a

+3

b

）•（2

a

-

b

）=61得，4

a

²+4

a

•

b

-3

b

²=61将|

a

|=4，|

b

|=3，代入即可求得两向量的内积；
（Ⅱ）由公式cosθ=

a • b

| a || b |

求出向量

a

与

b

的夹角余弦，再由出对应的角；
（Ⅲ）先求出（

a

-

b

）²=

a

²-2

a

•

b

+

b

²=13，再开方求出两向量差的模．

解答：解：（Ⅰ）由（2

a

+3

b

）•（2

a

-

b

）=61得，4

a

²+4

a

•

b

-3

b

²=61．
又|

a

|=4，|

b

|=3，可得

a

•

b

=6．                    …（4分）
（Ⅱ）设向量

a

与

b

的夹角为θ，
则cosθ=

a • b

| a || b |

=

6

4×3

=

1

2

，
可知向量

a

与

b

的夹角为60°．                    …（8分）
（Ⅲ）由（

a

-

b

）²=

a

²-2

a

•

b

+

b

²=13可得，|

a

-

b

|=

13

．…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，解题的关键是熟练掌握数量积的公式及其运算性质，向量的角的数量积表示，本题是数量积运用的基本题型．考查了方程的思想，转化的思想及运算变形的能力．