Question

【题目】如图，的棱长为1的正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为，周长为的范围分别是_____________（用集合表示）

Answer 1

【答案】;

【解析】

由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长为定值.

连接，，，

，平面

，又

平面，

同理可证

则平面，

设平面与平面的交线为，

则，又，

，

同理可得平面与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，

设，则，，

，

同理可得六边形其他相邻两边的和为,

六边形的周长为定值.

因为截面与各面的交线与各面的对角线平行，所以不管六边形如何变化，六边形的每个内角都是，并且相邻边长的和为，通过构造边长为的菱形，并且有一个角为，

六边形的面积是如图两个等边三角形的面积减上下两个等边三角形的面积，，，

，

，

所以截面多边形面积的取值范围是

故答案为：；