Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单

位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

①求a的值；

②若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

 

Answer 1

①a＝2②4元/千克

【解析】①因为x＝5时，y＝11，∴＋10＝11，∴a＝2.

②由①知，y＝＋10(x－6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．

当3<x<4时，f′(x)>0；4<x<6时，f′(x)<0.∴f(x)在(3,4)上递增，(4,6)上递减．

当x＝4时，f(x)取得最大值，f(4)＝42.

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得利润最大．