【题目】已知函数
(1)求函数f(x)在 上的最大值与最小值;
(2)已知 ,x0∈( , ),求cos4x0的值.
【答案】
(1)解:函数
化简可得:3 + sin2x﹣
= ﹣ cos2x× + × sin2x+ sin2x﹣ ﹣ cos2x
= sin2x﹣cos2x+
=2sin(2x﹣ )+ .
∵x∈ 上,
∴2x﹣ ∈[- , ].
∴sin(2x﹣ )∈[ ,1].
函数f(x)在 上的最大值为 ,最小值为
(2)解:∵ ,即2sin(4x0﹣ )+ =
sin(4x0﹣ )=
∵x0∈( , ),
4x0﹣ ∈[ ,π],
∴cos(4x0﹣ )= .
cos4x0=cos[4x0﹣ )+ ]=cos(4x0﹣ )cos ﹣sin(4x0﹣ )sin = × ﹣ =
【解析】(1)利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,求出f(x)的取值最大和最小值;(2)利用 ,x0∈( , ),代入化简,找出与cos4x0的值关系,可求解.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.
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【题目】动点P满足 + =2
(1)求动点P的轨迹F1 , F2的方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为 ,求△OAB面 积的最大值.
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【题目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ), =(﹣1,0).
(1)求向量 的长度的最大值;
(2)设α= ,且 ⊥( ),求cosβ的值.
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(i)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(ii)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,试求a的取值范围.
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