Question

【题目】如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱 ，AB=2，D，E分别为棱AC，B1C1的中点，M，N分别为线段AC1和BE的中点．
（1）求证：直线MN∥平面ABC；
（2）求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取棱CC1的中点F，连MF，NF，则MF∥AC，NF∥BC，

∵MF平面ADC，AC平面ADC，

∴MF∥平面ADC，同理NF∥平面ADC

又∵MF∩NF=F，且MF平面MNF，NF平面MNF，

∴平面MNF∥平面ADC

又MN平面MNF，

∴MN∥平面ADC

（2）解：取线段BC的中点O，连AO，则AO⊥BC，连OE，则OE∥BB1，

又因为BB1⊥平面ABC，所以OE⊥平面ABC

以O为坐标原点，分别以 ， ， 为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz．

设AB=2，则 ，各点坐标如下： ，C（﹣1，0，0）， ， ，

∵平面BCD即平面Oxz∴取平面ADB的一个法向量为

设平面BDE的法向量为 ，则 ，

又 ，

∴ 令 得平面ADB1的一个法向量为 ，

∴

故二面角B1﹣AD﹣B的余弦值为

【解析】（Ⅰ）取棱CC1的中点F，连MF，NF，推出MF∥AC，NF∥BC，然后证明MF∥平面ADC，NF∥平面ADC，证明平面MNF∥平面ADC，推出MN∥平面ADC．（Ⅱ）取线段BC的中点O，连AO，连OE，以O为坐标原点，分别以 ， ， 为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2，求出相关点的坐标，求出平面ADB的一个法向量，平面BDE的法向量，通过向量的数量积求解二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．