Question

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则

1

a

+

4

b

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先根据题意可推断出直线l过圆的直径，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把

1

a

+

4

b

整理成（4a+b）（

1

a

+

4

b

）的形式展开后利用基本不等式求得答案．

解答：解：整理圆的方程得（x+4）²+（y+1）²=16，
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴

1

a

+

4

b

=（4a+b）（

1

a

+

4

b

）=8+

16a

b

+

b

a

≥8+2

16a b • b a

=16（当且仅当

16a

b

=

b

a

时等号成立．）
故答案为：16

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线与圆的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．