Question

（1）已知p：25x²-10x+1-a²＞0（a≥0），q：2x²-3x+1＞0，若p是q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（2）已知p：方程x²+mx+1=0有两不相等的负实数根；q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用充分条件和必要条件的定义进行求范围．
（2）利用复合命题与简单命题的真假关系进行求范围．

解答：解：（1）由25x²-10x+1-a²＞0（a≥0），得[5x-（1-a）][5x-（1+a）]＞0，
即对应方程[5x-（1-a）][5x-（1+a）]=0的根为x1=

1-a

5

，x2=

1+a

5

，
因为a＞0，所以x₁＜x₂，
所以不等式的解为x＞

1+a

5

或x＜

1-a

5

．即p：x＞

1+a

5

或x＜

1-a

5

．
由2x²-3x+1＞0得x＞1或x＜

1

2

．即q：x＞1或x＜

1

2

．
因为p是q成立的充分不必要条件，
所以

1+a 5 ≥1 1-a 5 ≤ 1 2

，解得

a≥4 a≥- 3 2

，所以a≥4．
（2）因为方程x²+mx+1=0有两不相等的负实数根，所以x₁＜0，x₂＜0，
则

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2=1＞0

，解得m＞2．
即p：m＞2．
若方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，
则△=16（m-2）²-4×4＜0，解得1＜m＜3．
即q：1＜m＜3．
若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假．
若p真q假时，m≥3．
若p假q真时，1＜m≤2．
综上m≥3或1＜m≤2．

点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，已经复合命题真假之间的关系．