Question

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P(1，

3

2

)且离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的方程和简单几何性质，使用待定系数法即可；
（2）要证明直线系y=kx+m过定点，就要找到其中的参数k，m之间的关系，把双参数化为但参数问题解决，这只要根据直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点即可，这个问题等价于椭圆的右顶点与A，B的张角是直角．

解答：解：（1）椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k²-m²＞0，
x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

∴y1y2=

3(m2-4k2)

3+4k2

（6分）
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k_AD•k_BD=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0，
∴m₁=-2k，m2=-

2

7

k，且均满足3+4k²-m²＞0，（9分）
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾
当m1=-

2

7

k时，l的方程为y=k(x-

2

7

)，则直线过定点(

2

7

，0)
∴直线l过定点，定点坐标为(

2

7

，0)（12分）

点评：本题考查圆锥曲线与方程．直线系过定点时，必需是直线系中的参数为但参数，对于含有双参数的直线系，就要找到两个参数之间的关系把直线系方程化为单参数的方程，然后把x，y当作参数的系数把这个方程进行整理，使这个方程关于参数无关的成立的条件就是一个关于x，y的方程组，以这个方程的解为坐标的点就是直线系过的定点．