Question

7．已知函数f（x）=x-a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）设F（x）=f（x）-g（x）．
①若a=$\frac{1}{2}$，求函数y=F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．
（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，若对任意x₁，x₂∈[-2，2]，|h（x₁）-h（x₂）|≤6恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设F（x）=f（x）-g（x）．
①若a=$\frac{1}{2}$，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，则x-a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．
（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，对任意x₁，x₂∈[-2，2]，|h（x₁）-h（x₂）|≤6恒成立?h（x₁）_max-h（x₂）_min≤6，分a≤-1、-1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=x-a-a|x|，
①若a=$\frac{1}{2}$，则由F（x）=x-$\frac{1}{2}$|x|-$\frac{1}{2}$=0得：$\frac{1}{2}$|x|=x-$\frac{1}{2}$，
当x≥0时，解得：x=1；
当x＜0时，解得：x=$\frac{1}{3}$（舍去）；
综上可知，a=$\frac{1}{2}$时，函数y=F（x）的零点为1；
②若函数y=F（x）存在零点，则x-a=a|x|，
当a＞0时，作图如下：

由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x-a有交点，即函数y=F（x）存在零点；
同理可得，当-1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；
又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；
综上所述，a的取值范围为（-1，1）．
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]，
∴当-2≤x＜0时，h（x）=（1-a）x-a；
当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x-a；
又对任意x₁，x₂∈[-2，2]，|h（x₁）-h（x₂）|≤6恒成立，
则h（x₁）_max-h（x₂）_min≤6，
①当a≤-1时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增；
h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递减（当a=-1时，h（x）=-a）；
∴h（x）_max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a，
∴h（x₂）_min=h（-2）=a-2，
∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2，
综上，-2≤a≤-1；
②当-1＜a＜1时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增，
且h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上也单调递增，
∴h（x）_max=h（2）=2+a，h（x₂）_min=h（-2）=a-2，
由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1适合题意；
③当a≥1时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递减
（当a=1时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递增；
∴h（x）_min=h（0）=-a；
又h（2）=2+a＞a-2=h（-2），
∴h（x）_max=h（2）=2+a，
∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，
∴1≤a≤2；
综上所述，-2≤a≤2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查零点存在定理的应用，突出考查分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想的综合运用，考查推理运算能力、逻辑思维能力，属于难题．