Question

6．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1的定义域为[a，b]，值域为$[{-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$，则b-a的值不可能是（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{7π}{12}$
• D． π

Answer 1

分析 利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦函数在一个区间上单调性，建立关系，求解b-a的范围即可．

解答 解：函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，
化简可得：f（x）=2sinxcosx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
定义域为[a，b]，即x∈[a，b]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[2a$-\frac{π}{4}$，2b$-\frac{π}{4}$]
又∵值域为$[{-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$，即$-\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴-1≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\frac{1}{2}$
在正弦函数y=sinx的一个周期内，要满足上式，
则$-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{6}$
∴（b-a）_max=$\frac{π}{6}-（\frac{π}{2}）$=$\frac{2π}{3}$，
∴b-a的值不可能为π．
故选D．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的单调性，在正弦函数y=sinx的一个周期内，要满足$-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{6}$解得范围是关键，也是难点，考查分析与思维能力，属于难题．