Question

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点，求证：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

（1）证明：∵BC=AC，E为AB的中点，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E为AB的中点
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE；
（2）证明：由（1）有AB⊥平面DCE，
又∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（3）解：在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE

取DC的中点H，连AH、EH
∵G为△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE．
分析：（1）先证出直线AB与平面上的两条相交直线垂直，可得到线面垂直；
（2）利用线面垂直，根据面面垂直的判定，可得面面垂直；
（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE，取DC的中点H，连AH、EH，根据G为△ADC的重心，得到G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH，再说明线在平面上，得到结论．
点评：本题考查空间几何体的点线面之间的关系的证明，本题解题的关键是熟练所学的判定定理和性质定理，这里反复使用定理来解题．