Question

11．已知直线l₁：y=2x，l₂：y=-2x，过点M（-2，0）的直线l分别与直线l₁，l₂交于A，B，其中点A在第三象限，点B在第二象限，点N（1，0）；
（1）若△NAB的面积为16，求直线l的方程；
（2）直线AN交l₂于点P，直线BN交l₁于点Q，若直线l、PQ的斜率均存在，分别设为k₁，k₂，判断$\frac{k_1}{k_2}$是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l₁：y=2x，l₂：y=-2x，分别联立，可得A，B的纵坐标，再由△NAB的面积为$\frac{1}{2}$|MN|•（y_B-y_A）=16，解方程可得k，进而得到所求直线方程；
（2）求得A，B的坐标，设P（a，-2a），Q（b，2b），运用三点共线的条件：斜率相等，求得a，b，再由两点的斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值．

解答 解：（1）设直线方程为y=k（x+2），
与直线l₁：y=2x，l₂：y=-2x，分别联立，
可得A，B的纵坐标分别为$\frac{4k}{2-k}$，$\frac{4k}{k+2}$，
∵△NAB的面积为16，
∴$\frac{1}{2}$|MN|•（y_B-y_A）=16，
即$\frac{1}{2}×3×$（$\frac{4k}{k+2}$-$\frac{4k}{2-k}$）=16，
解得k=±4，
∴直线l的方程为4x±y+8=0；
（2）由（1）可得A（$\frac{2{k}_{1}}{2-{k}_{1}}$，$\frac{4{k}_{1}}{2-{k}_{1}}$），B（-$\frac{2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}$，$\frac{4{k}_{1}}{2+{k}_{1}}$），
又N（1，0），设P（a，-2a），Q（b，2b），
由A，N，P共线，可得
$\frac{2a}{1-a}$=$\frac{4{k}_{1}}{3{k}_{1}-2}$，解得a=$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}$，
即有P（$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}$，-$\frac{4{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}$），
由B，N，Q共线，可得
$\frac{2b}{b-1}$=$\frac{4{k}_{1}}{-3{k}_{1}-2}$，解得b=$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}$，
即有Q（$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}$，$\frac{4{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}$），
则k₂=$\frac{\frac{4{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}-\frac{-4{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}}{\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}-\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}}$=-5k₁，
即有$\frac{k_1}{k_2}$为定值-$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查直线方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题．