Question

已知函数，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

解：（1）当m=2时，
（x＞0）
令f'（x）＜0，可得或x＞2；令f'（x）＞0，可得，
∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递减
故
（2）（x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m）∪时，f′（x）＜0；x∈（m，）时，f'（x）＞0
此时f（x）在（0，m），上单调递减，在（m，）单调递增；
②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；
③当m＞1时，则，
故∪（m，1）时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0
此时f（x）在，（m，1）上单调递减，在单调递增
（3）由题意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即 ?
∵x₁≠x₂，由不等式性质可得恒成立，又x₁，x₂，m＞0
∴?对m∈[3，+∞）恒成立
令，则对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴
故
从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”
∴x₁+x₂的取值范围为
分析：（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；
（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．
点评：运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键