Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC₁；
（2）过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证：截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，且D是BC的中点得到AD⊥BC，再由侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，结合面面垂直的性质得到AD⊥侧面BB₁C₁C．从而证得答案；
（2）由AM=MA₁，可想到延长B₁A₁与BM交于N，连结C₁N，由中位线知识结合已知得到A₁C₁=A₁N=A₁B₁，∴C₁N⊥C₁B₁，然后由面面垂直的性质及判定得答案．

解答：证明：（1）如图，
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，
由两面垂直的性质，∴AD⊥侧面BB₁C₁C．
又CC₁?面BB₁C₁C，∴AD⊥CC₁；                                                          
（2）延长B₁A₁与BM的延长线交于N，连结C₁N，
∵AM=MA₁，且MA₁∥BB₁，∴NA₁=A₁B₁，
∵AB=AC，∴A₁B₁=A₁C₁，∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁，
∴A₁为△B₁C₁N外接圆的圆心，
∴C₁N⊥C₁B₁，
∵底面NB₁C₁⊥侧面BB₁C₁C，
由面面垂直的性质，∴C₁N⊥侧面BB₁C₁C，
∴截面C₁NB⊥侧面BB₁C₁C，∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了直线与平面垂直的性质，解答此题的关键在于充分利用了中点，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．