Question

【题目】如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1 ， ∠ACB=90°．
（1）求证：AB⊥平面OCC1；
（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点C在平面 内的射影点为A1B1的中点O，

∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1，

∵O为A1B1的中点，∴C1O⊥A1B1，

∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O，

∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面CC1O．

（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，

设AC=1，则CC1=1，C1O= ，

∵∠COC1= ，∴CO= = ，

则C（0，0，0），C1（﹣ ， ），A（1，0，0），B（0，1，0），

∴ =（﹣ ， ）， =（1，0，0）， =（0，1，0），

设平面ACC1的法向量 =（x，y，z），

则 ，取y= ，得 =（0， ），

同理得平面BCC1的法向量 =（ ），

设二面角A﹣CC1﹣B的平面角为θ，

则cosθ= = ．

sinθ= = ，

∴二面角A﹣CC1﹣B的正弦值为 ．

【解析】（1）推导出CO⊥A1B1 ， A1C1=C1B1 ， C1O⊥A1B1 ， 从而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能证明AB⊥平面CC1O．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．