Question

已知双曲线C：x²-y²=1的左右焦点分别为F₁、F₂，P是C上一点，∠F₁PF₂=60°，
①求F₁、F₂的坐标；
②求双曲线的准线方程及离心率；
③求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：根据双曲线的标准方程，求出几何量a，b，c，可得①求F₁、F₂的坐标；②求双曲线的准线方程及离心率；③利用双曲线的定义、余弦定理，根据面积公式，即可求△F₁PF₂的面积．

解答：解：①∵双曲线C：x²-y²=1的左右焦点分别为F₁、F₂，
∴a=b=1，
∴c=

2

，
∴F₁（-

2

，0）、F₂（-

2

，0）；
②双曲线的准线方程x=±

a2

c

=±

1

2

=±

2

2

，离心率e=

c

a

=

2

；
③设|F₁P|=m，|PF₂|=n，则m-n=2（1）
在△F₁PF₂中，8=m²+n²-2mncos60°=m²+n²-mn（2），
（2）-（1）²：mn=4，
∴△F₁PF₂的面积S=

1

2

mnsin60°=

1

2

•4•

3

2

=

3

．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，考查双曲线的定义、余弦定理，正确运用双曲线的标准方程是关键．