Question

（2013•广州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离．

Answer 1

分析：（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MO∥PA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD=

AD

AB

=

1

2

，证得 AD⊥BD，可证AD⊥平面PBD，从而证得结论．
（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h．

解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点．
由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，
故有PA∥平面BMD．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四边形ABCD中，∵∠BCD=60°，AB=2AD，
∴cos∠BAD=

AD

AB

=cos60°=

1

2

，∴AD⊥BD．
这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．
（3）若AB=PD=2，则AD=1，BD=AB•sin∠BAD=2×

3

2

=

3

，
由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离．
取CD得中点N，则MN⊥平面ABCD，且MN=

1

2

PD=1．
设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求．
由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形．
由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD=MB，故三角形MBD为等腰三角形，
故MO⊥BD．
由于PA=

PD2+AD2

=

4+1

=

5

，∴MO=

5

2

．
 由V_M-BCD=V_C-MBD 可得，

1

3

•（

1

2

×AB×AD×sin∠BAD）•MN=

1

3

•（

1

2

×BD×MO ）×h，
故有

1

3

×（

1

2

×2×1×sin60°）×1=

1

3

•（

1

2

×

3

×

5

2

）•h，
解得h=

2 5

5

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题．