Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数可得：f′（x）=lnx+1，
当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴①0＜t＜t+2＜时，没有最小值；
②t＜＜t+1，0＜t＜时，f（x）_min=f（）=-；
③≤t＜t+1，即t≥时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
综上得f（x）_min=；
（2）由已知，2xlnx≥-x²+ax-2，则a≤2lnx+x+，
设h（x）=2lnx+x+（x＞0），则h′（x）=，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，h（x）单调递增，
∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即a≤h（x）max=e++1．
分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，即可求得函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）由已知分离参数，则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+（x＞0），因为存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，故有a≤h（x）max，从而可求实数a的取值范围．
点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．