分析 (1)若k1+k2=0,线段AB和CD关于x轴对称,利用$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$,确定坐标之间的关系,即可求线段MN的长;
(2)若k1•k2=-1,两直线互相垂直,求出M,N的坐标,可得|PM|,|PN|,即可求△PMN面积的最小值.
解答 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,则
设直线AB的方程为y=k1(x-2),代入y2=4x,可得y2-$\frac{4}{{k}_{1}}$y-8=0
∴y1+y2=$\frac{4}{{k}_{1}}$,y1y2=-8,
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$,∴y1=-2y2,∴y1=4,y2=-2,
∴yM=1,
∵k1+k2=0,
∴线段AB和CD关于x轴对称,
∴线段MN的长为2;
(2)∵k1•k2=-1,∴两直线互相垂直,
设AB:x=my+2,则CD:x=-$\frac{1}{m}$y+2,
x=my+2代入y2=4x,得y2-4my-8=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-8,
∴M(2m2+2,2m).
同理N($\frac{2}{{m}^{2}}$+2,-$\frac{2}{m}$),
∴|PM|=2|m|•$\sqrt{{m}^{2}+1}$,|PN|=$\frac{2}{{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$,|
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$|PM||PN|=$\frac{1}{|m|}$(m2+1)=2(|m|+$\frac{1}{|m|}$)≥4,
当且仅当m=±1时取等号,
∴△PMN面积的最小值为4.
点评 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,属于中档题.
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A. | [0,+∞) | B. | $[\frac{{\sqrt{2}}}{2},+∞)$ | C. | $[{\frac{{\sqrt{2}}}{4},+∞})$ | D. | $[\sqrt{2},+∞)$ |
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A. | 四个内角都大于90° | B. | 四个内角中有一个大于90° | ||
C. | 四个内角都小于90° | D. | 四个内角中有一个小于90° |
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A. | 102 | B. | $\frac{865}{8}$ | C. | $\frac{817}{8}$ | D. | 108 |
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A. | -2015 | B. | -2016 | C. | 2015 | D. | 2016 |
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