Question

2．如图，已知抛物线y²=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k₁，k₂的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点
（1）若k₁+k₂=0，$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，求线段MN的长；
（2）若k₁•k₂=-1，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）若k₁+k₂=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；
（2）若k₁•k₂=-1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，则
设直线AB的方程为y=k₁（x-2），代入y²=4x，可得y²-$\frac{4}{{k}_{1}}$y-8=0
∴y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-8，
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，∴y₁=-2y₂，∴y₁=4，y₂=-2，
∴y_M=1，
∵k₁+k₂=0，
∴线段AB和CD关于x轴对称，
∴线段MN的长为2；
（2）∵k₁•k₂=-1，∴两直线互相垂直，
设AB：x=my+2，则CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2，
x=my+2代入y²=4x，得y²-4my-8=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴M（2m²+2，2m）．
同理N（$\frac{2}{{m}^{2}}$+2，-$\frac{2}{m}$），
∴|PM|=2|m|•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，|PN|=$\frac{2}{{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，|
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$|PM||PN|=$\frac{1}{|m|}$（m²+1）=2（|m|+$\frac{1}{|m|}$）≥4，
当且仅当m=±1时取等号，
∴△PMN面积的最小值为4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．