Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|=3，|AB|=4，|BC|=

3

，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；
（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（！）由题意，先建立平面直角坐标系，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程，要注意求解方程之后要有题意去排杂；
（2）对于（2）这种是否C能否，往往要利用假设的思想，设出变量，存在建立方程求解，不存在会产生矛盾及可求解．

解答：解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），C（2，

3

），D（-2，3）．
依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．
∵a=

1

2

(|AD|+|BD|)=4，c=2，b2=12，
∴所求方程为

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，0≤y≤2

3

)．

（2）设这样的弦存在，其方程y-

3

=k（x-2），即y=k（x-2）+

3

，将其代入

x2

16

+

y2

12

=1
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0
设弦的端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，解得k=-

3

2

．
∴弦MN所在直线方程为y=-

3

2

x+2

3

，验证得知，这时M(0，2

3

)，N(4，0)适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y=-

3

2

x+2

3

．

点评：（1）重点考查了利用曲线的方程这一概念，先建立平面直角坐标系，然后利用定义法求其动点的轨迹方程，并进行实际问题的排杂；
（2）重点考查了假设存在，建立方程求解或找矛盾的这一常用方法，还考查了直线方程与曲线方程产生交点要联立，用设而不求整体代换的思想求解．