【题目】如图,在四棱锥S ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且点P为AD的中点,点Q为SB的中点.
(1)求证:CD⊥平面SAD.
(2)求证:PQ∥平面SCD.
(3)若SA=SD,点M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.
【解析】
试题分析:(1)由四边形为正方形可得
,再根据面面垂直的性质定理即可得结论;(2)取
的中点
,连
,由中位线定理可得
,从而可得四边形
为平行四边形,所以
,进而根据线面平行的判定定理可得结论;(3) 存在点
为
中点,使得平面
平面
,先证明
,再证明
平面
,可得
平面
, 面面垂直的判定定理即可得结论.连接
交于点
,连接
.
试题解析:(1)因为四边形ABCD为正方形,则CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD,
且面SAD∩面ABCD=AD,
所以CD⊥平面SAD.
(2)取SC的中点R,连QR,DR.
由题意知:PD∥BC且PD=12BC.
在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,
所以QR∥BC且QR=12BC.
所以QR∥PD且QR=PD,
则四边形PDRQ为平行四边形.
所以PQ∥DR.又PQ平面SCD,DR平面SCD,
所以PQ∥平面SCD.
(3)在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.
连接PC、DM交于点O,连接PM、SP,
因为PD∥CM,并且PD=CM,
所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO.
又因为N为SC中点,
所以NO∥SP.
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,
所以SP⊥平面ABCD,
所以NO⊥平面ABCD,
又因为NO平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理及判定定理,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(2)是就是利用方法①证明的.
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【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元), 表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若=19,求y与x的函数解析式;
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求
的最小值;
(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
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【题目】若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于;点A坐标(p,q),曲线C方程:y= ,直线l过A点,且和曲线C只有一个交点,则直线l的斜率取值范围为 .
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【题目】在△ABC中,设边a,b,c所对的角为A,B,C,且A,B,C都不是直角,(bc﹣8)cosA+accosB=a2﹣b2 .
(1)若b+c=5,求b,c的值;
(2)若 ,求△ABC面积的最大值.
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,a2= ,且an+1=
(n=2,3,4…).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:对一切n∈N* , 有 <
.
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【题目】在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,5a1a3=(2a2+2)2 .
(1)求d和an的值;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2021|的值.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
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【题目】已知函数f(x)= sin
cos
+sin2
(ω>0,0<φ<
).其图象的两个相邻对称中心的距离为
,且过点(
,1).
(1)函数f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 =
.且f(A)=
,求角C的大小.
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