Question

对定义域分别是D_f，D_g的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数h(x)＝
(1)若函数f(x)＝，g(x)＝x²，写出函数h(x)的解析式；
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．

Answer 1

(1) h(x)＝  (2) h(x)值域(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)

(1)D_f＝{x|x≠1}，D_y＝R.
当x＝1时，h(x)＝x²＝1；
当x≠1时，h(x)＝f(x)g(x)＝，
∴h(x)＝
(2)当x＝1时，h(1)＝1；
当x≠1时，
方法一：h(x)＝＝
＝x－1＋＋2；
当x＞1时，h(x)≥4，等号成立条件x＝2；
当x＜1时，h(x)＝－＋2≤0，
等号成立条件x＝0，
∴h(x)值域(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．
方法二：y＝，x²－yx＋y＝0.
∵x∈R且x≠1，则关于x的方程有实根，
∴Δ＝y²－4y≥0，∴y≥4或y≤0，
∴h(x)值域(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．