Question

实验表明，某型号的汽车每小时的耗油量y（升）与速度x（千米/小时）的关系式为y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，已知甲乙两地相距180千米，最高时速为V千米/小时．
（1）当车速度x（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为f（x）（升），求函数f（x）的解析式并指出函数的定义域；
（2）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少？

Answer 1

分析：（1）由已知中每小时的耗油量y（升）与速度x（千米/小时）的关系式，甲乙两地相距180千米，则当车速度x（千米/小时）时，花费的时间为

180

x

小时，进而得到函数f（x）的解析式，结合甲乙两地相距180千米，可得到函数的定义域；
（2）根据（1）中得到的函数解析式，求出导函数的表达式，结合根据导数法求函数最值的方法和步骤，我们易确定出车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少．

解答：解：（1）∵每小时的耗油量y（升）与速度x（千米/小时）的关系式为y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，
甲乙两地相距180千米，当车速度x（千米/小时）时，
f（x）=

180

x

×y=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，x∈（0，V]…6分（2）∵f（x）=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，
∴f′（x）=540(

2x

903

-

2

x2

)
令f′（x）=0，解得x=90…8分
若V＜90，有f′（x）＜0，则函数f（x）在区间（0，V）内为单调减函数，所以车速为V（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小；…11分
若V≥90，当0＜x＜90时，f′（x）＜0；当90＜x≤V时，f′（x）＞0，所以，当x=90时，f（x）最小．…14分
综上：若V＜90，车速为V（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小；若V≥90，车速为90（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小．…15

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用导数求闭区间上的函数的最值，其中在建立函数模型时，由实际出发分析自变量的取值范围（定义域）是应用题的易忽略点，而（2）中要注意对V的取值进行分类讨论．