Question

19．已知方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1．
（1）当实数m取何值时，此方程分别表示圆、椭圆、双曲线？
（2）若命题q：实数m满足方程 $\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题p：实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＜0），且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）方程表示圆时：分母相等且为正；表示椭圆时：分母为正且不等；表示双曲线时：分母异号
（2）方程表示焦点在y轴上的椭圆时：在表示椭圆的基础上还要2-m＞m-1，“非q是非p的充分不必要条件”转化为“p是q的充分不必要条件”

解答 解：（1）因为方程表示圆时，m-1=2-m＞0，即$m=\frac{3}{2}$，所以当$m=\frac{3}{2}$时，此方程表示圆．
因为方程表示椭圆时，$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{m-1≠2-m}\end{array}\right.$ 即$m∈（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，2）$，所以当$m∈（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，2）$时，此方程表示椭圆．
因为方程表示双曲线时，（m-1）（2-m）＜0，即m＜1或m＞2，所以当m＜1或m＞2时，此方程表示双曲线．
（2）由${m}^{2}-7am+12{a}^{2}＜0\\;\\;（a＞0）$ （a＞0），则3a＜m＜4a，即命题p：3a＜m＜4a
由$\frac{{x}^{2}}{m-1}+\frac{{y}^{2}}{2-m}=1$表示焦点在y轴上的椭圆可得：2-m＞m-1＞0，即$1＜m＜\frac{3}{2}$，所以命题q：$1＜m＜\frac{3}{2}$
由非q为非p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，从而有：
$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$ 即$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{8}$

点评 （1）本小题主要考查圆锥曲线的共同特征，圆、椭圆、双曲线的方程特征是解题的关键，属于基础题
（2）本小题考查了两点：第一点考查焦点在y轴上的椭圆的方程特征，第二点考查充要条件的简单应用．本题的关键是利用转化思想，将“非q是非p的充分不必要条件”转化为“p是q的充分不必要条件”，也属于基础题．