Question

(本小题满分12分)
如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD="4." 将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求证：AB⊥DE；
(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.

Answer 1

（1）先求出BD，利用勾股定理知AB⊥BD，再由面面垂直的性质知AB⊥平面EBD，从而得证（2）S=8+2

试题分析：(1)在△ABD 中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，
∴BD=.
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD=BD，AB平面ABD，
∴AB⊥平面EBD. 又∵DE平面EBC，∴AB⊥DE.                                ……5分
(2)由(1)知AB⊥BD.
∵CD∥AB    ∴CD⊥BD，从而DE⊥BD
在Rt△DBE中, ∵DB=2，DE=DC=AB=2，
∴S_△DBE=.……7分
又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE.
∵BE=BC=AD=4，S_△ABE=AB·BE=4……9分
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，
而AD平面ABD，∴ED⊥AD，∴S_△ADE=AD·DE="4."                            ……11分
综上，三棱锥E—ABD的侧面积S=8+2.                                  ……12分
点评：要证明空间中直线、平面间的位置关系要紧扣判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可.