Question

（2013•天津模拟）已知函数f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）先确定2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，再求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

解答：解：（ I）：f(x)=

1-cos2x

2

+

3

sin2x+

3(1+cos2x)

2

=2+

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)+2…（4分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π，…（5分）
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z时f（x）为单调递增函数
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（8分）
（ II）∵f(x)=2+2sin(2x+

π

6

)，由题意得：-

π

6

≤x≤

π

3

∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，4]
∴f（x）值域为[1，4]…（13分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．