Question

20．作短轴长为2b的椭圆的内接矩形，若该矩形面积的最大值的取值范围是[3b²，4b²]，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 如图所示，不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），设矩形的一条对角线所在方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得：x²，y²，可得矩形的面积S=2|x|×2|y|，再利用基本不等式的性质、椭圆离心率的计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
设矩形的一条对角线所在方程为y=kx（k＞0），
代入椭圆方程可得：x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴矩形的面积S=2|x|×2|y|=4$\frac{k{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{\frac{{b}^{2}}{k}+{a}^{2}k}$≤$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{2\sqrt{\frac{{b}^{2}}{k}•{a}^{2}k}}$=2ab，当且仅当k=$\frac{b}{a}$时取等号．
∴3b²≤2ab≤4b²，
化为$\frac{1}{2}≤\frac{b}{a}≤\frac{2}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．